class: center, middle, inverse, title-slide # Solución del Modelo MIU ### David Camposeco ### ITAM ### Last updated: 2020-09-13 --- ### Introducción * Vamos a empezar con el modelo estándar (Ramsey, 1928; Solow, 1956) + Es un modelo intertemporal sencillo. + Los agentes deben decidir si ahorrar lo que producen para producir mañana o consumirlo hoy. * Ya conocemos bien el resultado de este modelo. El propósito de hoy es añadirle dinero * La forma más sencilla es utilizar el enfoque de Sidrausky (poner el dinero en la función de utilidad) + Este enfoque debe ser considerado como un *atajo* + El uso de atajos nos puede ayudar a entender algunas características + Algunas de estas características son robustas a los atajos + **otras no** <br><br><br><br><br><br><br><br><br> _{Introducir Notación} --- ### Introducción al Modelo Los agentes obtienen su ingreso de producir (con capital): `$$Y_t = F(K_{t-1},N_{t})$$` * La función de producción es CRS y satisface las condiciones de INADA.¹ * Y pueden transferir ingresos del periodo anterior en la forma de dinero (además del capital) * El ingreso de producir puede ser utilizado para consumo, inversión y tenencia de dinero. * Entonces, la restricción presupuestaria, está dada por: `$$C_t + K_t + \frac{M_t}{P_t} + \frac{B_t}{P_t} = Y_t + \tau_tN_t + (1-\delta)K_{t-1}+ \frac{M_{t-1}}{P_t} + (1+i_{t-1})\frac{B_{t-1}}{P_t}$$` **Nota** `\(B_t\)` y `\(M_t\)` son términos nominales. Para escribir todo en letras minúsculas (recuerda `\(x_t =X_t/P_tN_t\)` donde `\(X_t\)` es una variable nominal) debemos dividir todo entre `\(N_t\)`. `$$c_t + k_t + m_t + b_t = y_t + \tau_t + (1-\delta)\frac{K_{t-1}}{N_t}+ \frac{M_{t-1}}{P_tN_t} + (1+i_{t-1})\frac{B_{t-1}}{P_tN_t}$$` <span class="footnote">¹ `\(f_k \geq 0 \; f{kk} \leq 0 \; \lim_{k \to \infty} f_k(k) = 0 \; \lim_{k \to 0} f_k(k) = \infty\)`</span> --- ### Introducción al Modelo En la expresión de la restricción presupuestal, `$$c_t + k_t + m_t + b_t = y_t + \tau_t + (1-\delta)\frac{K_{t-1}}{N_t}+ \frac{M_{t-1}}{P_tN_t} + (1+i_{t-1})\frac{B_{t-1}}{P_tN_t}$$` algunas expresiones no quedaron en el formato `\(x_t =X_t/P_tN_t\)`. Multiplicamos y dividimos por los factores que nos faltan. `$$c_t + k_t + m_t + b_t = y_t + \tau_t + (1-\delta)\frac{K_{t-1}N_{t-1}}{N_tN_{t-1}}+ \frac{M_{t-1}N_{t-1}P_{t-1}}{P_tN_tN_{t-1}P_{t-1}} + (1+i_{t-1})\frac{B_{t-1}P_{t-1}N_{t-1}}{P_tN_tP_{t-1}N_{t-1}}$$` Ahora si, haciendo uso de la definición `\(1+\pi_t = P_t/P_{t-1}\)` y suponiendo que `\(N_t=N_{t-1} \forall t\)` `$$c_t + k_t + m_t + b_t = y_t + \tau_t + (1-\delta)k_{t-1}+ \frac{m_{t-1}}{1+\pi_t} + (1+i_{t-1})\frac{b_{t-1}}{1+\pi_t}$$` Por último nota que podemos escribir `\(y_t =f(k_{t-1})\)` por que la función es homogenea de grado 1. `$$\frac{Y_t}{N_t} = \frac{1}{N_t}F(K_{t-1},N_t) = F\left(\frac{K_{t-1}N_t}{N_tN_{t-1}},1\right)= f(k_{t-1})$$` Donde de nuevo usamos el supuesto de que `\(N_t/N_{t-1}=1\)` --- ### Introducción al Modelo **El dinero tiene que salir de algún lado.** Recordemos que `\(\tau_t\)` es la **transferencia real per cápita** de la cantidad de dinero que el gobierno o banco central inyecta a la economía. En este modelo, la forma en la que el Banco Central inyecta dinero es simplemente transfiriendolo a los consumidores. * Entonces la **transferencia nominal total** es `\(P_tN_t\tau_t\)`. Entonces: `$$P_tN_t\tau_t =M_t - M_{t-1} \\ \Rightarrow \tau_t=\frac{M_t - M_{t-1}}{P_tN_t}$$` De nuevo, la transferencia es la forma en que el Banco Central inyecta dinero a la economía. --- ### Consumidores Por lo tanto los agentes resuelven el problema: `$$\max_{\{c,k,b,m\}_t} \sum_{t=1}^\infty \beta^{t-1} u (c_t, m_t) \\ s.a. \qquad c_t + k_t + m_t + b_t = f(k_{t-1}) + \tau_t + (1-\delta)k_{t-1}+ \frac{m_{t-1}}{1+\pi_t} + (1+i_{t-1})\frac{b_{t-1}}{1+\pi_t} \qquad \forall t$$` --- ### Consumidores El Lagrangeano asociado al problema de los consumidores es: `$$\begin{align*} \mathcal{L}(\{c_i,k_i,b_i,m_i,\lambda_i\}_{i=1}^\infty) &= \\ &\sum_{t=1}^\infty \beta^{t-1} u (c_t, m_t) \\ &- \sum_{t=1}^\infty \lambda_t \left[c_t + k_t + m_t + b_t- f(k_{t-1}) - \tau_t - (1-\delta)k_{t-1}- \frac{m_{t-1}}{1+\pi_t} - (1+i_{t-1})\frac{b_{t-1}}{1+\pi_t} \right] \end{align*}$$` Las condiciones de primer orden son: `$$\begin{align*} &\mathbf{c_t:\qquad}& \beta^{t-1}u_c(c_t,m_t)-\lambda_t =0 \qquad &\mathbf{m_t:\qquad} \beta^{t-1}u_m(c_t,m_t)-\lambda_t+\frac{\lambda_{t+1}}{1+\pi_{t+1}}= 0\\ &\mathbf{k_t:}& -\lambda_t + \lambda_{t+1}[f'(k_t)+(1-\delta)]= 0 \qquad &\mathbf{b_t:} -\lambda_t + \lambda_{t+1} \frac{1+i_{t-1}}{1+\pi_t}=0 \end{align*}$$` --- ### Condiciones de eficiencia * Combinando la CPO del consumo en `\(t\)` y en `\(t+1\)` con la del capital ( `\(\lambda_t / \lambda_{t+1}=[f'(k_t)+(1-\delta)]\)` ) tenemos la **Condicion de Euler**: `$$\begin{align*} \beta^{t-1} u_c(c_t,m_t) &= \lambda_t \\ \beta^{t} u_c(c_{t+1},m_{t+1}) &= \lambda_{t+1} \\ \Rightarrow u_c(c_t,m_t) &= \beta u_c(c_{t+1},m_{t+1})[f_k(k_t)+1-\delta] \end{align*}$$` * Combinando la CPO del `\(m_t\)` con la de `\(c_t\)` tenemos: `$$\begin{align*} \beta^{t-1}u_m(c_t,m_t)+\frac{\lambda_{t+1}}{1+\pi_{t+1}} &= \lambda_t \\ \beta^{t-1}u_m(c_t,m_t)+\frac{\beta^{t}u_c({c_{t+1},m_{t+1})}}{1+\pi_{t+1}} &= \beta^{t-1}u_c({c_{t},m_{t}}) \qquad \text{Dividiendo todo entre } \beta^{t-1}\\ u_m(c_t,m_t)+\frac{\beta u_c({c_{t+1},m_{t+1})}}{1+\pi_{t+1}} &= u_c({c_{t},m_{t}}) \\ \end{align*}$$` **Nota:** Esta última expresión dice que la utilidad marginal de "consumir" dinero es igual al costo de oportunidad. --- ### Condiciones de eficiencia También hay una condición de no arbitraje. De las condiciones de primer orden de `\(b_t\)` y de `\(k_t\)` tenemos que: `$$\begin{align*} \frac{\lambda_{t+1}}{\lambda_t}&= [f'(k_t)+(1-\delta)] \\ \frac{\lambda_{t+1}}{\lambda_t}&= \frac{1+i_{t-1}}{1+\pi_t} \\ \Rightarrow [f'(k_{t-1})+(1-\delta)] &= \frac{1+i_{t-1}}{1+\pi_t} \end{align*}$$` Recordemos la **Ecuación de Fisher:** `\(1+i = (1+r)(1+\pi)\)` comúnmente aproximada como `\(i \approx r + \pi\)` * ¿Qué tasa de interés pactamos en `\(t-1\)`? * ¿Qué inflación es relevante para determinar cuál es la tasa de interés real por invertir en `\(t-1\)` para recibir un beneficio en `\(t\)`? **Nota:** Si definimos `\([f'(k_t)+(1-\delta)] \equiv (1+r_{t-1})\)` entonces la condición de no arbitraje (adelantada un periodo) es: `$$(1+r_{t}) = \frac{1+i_{t}}{1+\pi_{t+1}}$$` --- class: inverse, center, middle # Equilibrio --- ### Equilibrio #### Capital Habíamos visto, que las condiciones de primer orden del modelo MIU son: * `\(u_c(c_t,m_t) = \beta u_c(c_{t+1},m_{t+1})[f'(k_t)+1-\delta]\)` * `\(u_m(c_t,m_t) + \beta \frac{u_c(c_{t+1},m_{t+1})}{1+\pi_{t+1}}= u_c(c_t,m_t)\)` Como en estado estacionario ($ss$) tenemos que: `\(c_t = c_{t+1}; \; m_t = m_{t+1}; \; k_t = k_{t+1} \; \Rightarrow u_c(c_{t},m_{t}) = u_c(c_{t+1},m_{t+1})\)`, de la condición de Euler: `$$\frac{1}{\beta} = f'(k^{ss}) + 1 - \delta$$` #### El Capital no depende de m! --- ### Equilibrio #### Banco Central Recordemos que las transferencias del gobierno estaban dadas por: `$$\begin{align*} \color{green}\tau_t &= \frac{M_t-M_{t-1}}{P_tN_t} \\ \text{Definiendo }1+\theta_t & \equiv \frac{M_t}{M_{t-1}} \Rightarrow \theta_t M_{t-1} = \left(\frac{M_t}{M_{t-1}}-1 \right)M_{t-1} = M_t-M_{t-1} \\ \Rightarrow \color{green}\tau_t &= \frac{\theta_t M_{t-1} }{P_tN_t} = \frac{\theta_t m_{t-1}}{1+\pi_t}\\ \Rightarrow \color{green}\tau_{ss} &= \frac{\theta }{1+\pi_{ss}} m_{ss} \end{align*}$$` Como en `\(ss\)` tenemos que `\(m\)` es constante, `\(\theta = \pi\)`. **Nota:** En estado estacionario `\(m_t = m_{t-1} \Rightarrow \frac{M_t}{P_t} = \frac{M_{t-1}}{P_{t-1}} \Rightarrow \frac{M_t}{M_{t-1}} = \frac{P_t}{P_{t-1}} \Rightarrow 1+\theta = 1+\pi\)` --- ### Equilibrio #### Consumo Comenzamos por la restricción presupuestal: `$$c_t + k_t + m_t = f(k_{t-1}) + \color{green}\tau_t + (1-\delta)k_{t-1} + \frac{1}{1+\pi_t}m_{t-1}$$` `$$\begin{align} c_{ss} + k_{ss} + m_{ss} &= f(k_{ss}) + \color{green}\tau_{ss} + (1-\delta)k_{ss} + \frac{1}{1+\pi_{ss}}m_{ss} \\ c_{ss} + k_{ss} + m_{ss} &= f(k_{ss}) + \frac{ \color{blue} \theta }{1+\pi_{ss}} m_{ss}+ (1-\delta)k_{ss} + \frac{ \color{blue}1}{1+\pi_{ss}}m_{ss} \\ c_{ss} + k_{ss} + m_{ss} &= f(k_{ss}) + (1-\delta)k_{ss} + \frac{\color{blue}{1+\theta}}{1+\pi_{ss}}m_{ss} \\ c_{ss} + k_{ss} + \color{orange}{m_{ss}} &= f(k_{ss}) + (1-\delta)k_{ss} + \color{orange}{ m_{ss}} \\ c_{ss} + \color{orange}{k_{ss}} &= f(k_{ss}) + ( \color{orange}{1}-\delta)k_{ss} \\ c_{ss} &=f(k^{ss})- \delta k^{ss} \end{align}$$` #### El Conusmo solo depende del capital por lo que no depende de m! --- ### Equilibrio #### Valor del dinero (saldos reales) Aunque el el capital y el consumo no dependen de `\(m\)`, la tasa de crecimiento del dinero y de la inflación, determinan el valor del dinero en `\(ss\)`. Tomemos la CPO del dinero y dividamosla ente `\(u_c(c_t,m_t)\)`: `$$\begin{align*} \frac{u_m(c_t,m_t)}{u_c(c_t,m_t)} &= \frac{u_c(c_t,m_t)}{u_c(c_t,m_t)}- \frac{1}{1+\pi_{t+1}} \beta \frac{u_c(c_{t+1},m_{t+1})}{u_c(c_t,m_t)}\\ \frac{u_m(c_{t},m_{t})}{u_c(c_{t},m_{t})}&= 1 -\frac{1} {1+\pi_{t+1}} \frac{1} {[f'(k_t)+1-\delta]} \\ \frac{u_m(c_{t},m_{t})}{u_c(c_{t},m_{t})}&= 1 -\frac{1} {1+\pi_{t+1}} \frac{1} {1+r_t} \end{align*}$$` Donde hemos hecho explicito el hecho de que `\(r_t=f'(k_t) -\delta\)` es la tasa de interés (renta del capital). Ahora utilizando la definición de tasa de interés nominal: `\(1+r_t = (1+i_t) / (1+\pi_{t+1} )\)`: `$$\frac{u_m(c_{t},m_{t})}{u_c(c_{t},m_{t})}= \frac{i_t}{1+i_t}$$` --- ### Equilibrio #### Funciones de utilidad Asumamos ahora una función de utilidad instántanea `\(u(c_{t},m_{t})\)` tipo CES: `$$\begin{align*} u(c_{t},m_{t}) & = [\alpha c_t^{1-\gamma} + (1-\alpha)m_t^{1-\gamma} ]^{\frac{1}{1-\gamma}} \\ \frac{u_m(c_{t},m_{t})}{u_c(c_{t},m_{t})}= \frac{i_t}{1+i_t} & \Rightarrow m_t = \left[\frac{1-\alpha}{\alpha}\right]^{\frac{1}{\gamma}} \left[\frac{i_t}{1+i_t}\right]^{\frac{-1}{\gamma}}c_t \\ \end{align*}$$` Recordando la teoría cuantitativa del dinero: `$$M_t V_t = P_t Y_t$$` Este modelo nos ha dado una nueva predicción, la velocidad del dinero está relacionada con la tasa de interés nominal. --- ### Equilibrio #### Teoría cuantitativa del dinero La velocidad del dinero es proporcional a `\(\frac{i_t}{1+i_t}\)` <img src="Vyr.png" width="60%" style="display: block; margin: auto;" /> --- ### MIU: Inflación óptima Regresando al modelo, teníamos la siguiente relación: `$$\frac{u_m(c_{t},m_{t})}{u_c(c_{t},m_{t})}= \frac{i_t}{1+i_t}$$` Utilizando la utilidad de los consumidores, podemos evaluar los efectos de la inflación sobre el bienestar. Friedman argumentó que existe un nivel de inflación óptimo caracterizado por: * El costo marginal **social** de crear dinero es prácticamente cero. * El costo marginal **privado** de tener dinero es `\(\frac{i^{ss}}{1+i^{ss}}\)` * Igualando el costo marginal social al costo marginal privado, tenemos que `\(i^{ss}=0\)`. * Utilizando la regla de Fisher, `\(\pi^{ss} = -r^{ss}\)`. La inflación optima es negativa, es igual al negativo de la tasa de interés real. Este resultado es conocido como la regla de Friedman. --- ### MIU: Inflación óptima Podemos formalizar lo anterior, supongamos que el planificados social quiere maximizar la utilidad de los consumidores creando dinero. El planificador resuelve: `$$\max_{\theta^{ss}} u(c^{ss},m^{ss}) \iff \max_{\theta^{ss}} u(f(k^{ss})-\delta k^{ss},m^{ss})$$` Las CPO: `$$u_c(f(k^{ss})-\delta k^{ss},m^{ss}) \frac{\partial [f(k^{ss})-\delta k^{ss}]}{\partial m^{ss}} \frac{\partial m^{ss} }{\theta^{ss}} + u_m(c^{ss},m^{ss}) \frac{\partial m^{ss} }{\theta^{ss}} = 0$$` `$$\Rightarrow u_m(c^{ss},m^{ss}) \frac{\partial m^{ss} }{\theta^{ss}} = 0$$` Como `\(u_m(c^{ss},m^{ss}) = u_c(c^{ss},m^{ss}) \left[ \frac{i^{ss}}{1+i^{ss}}\right] \Rightarrow i^{ss} = 0\)` Si existe una inflación óptima podemos calcular el costo de la inflación! --- ### MIU: Superneutralidad del dinero **Def:** Un modelo es **Neutral al dinero** si un cambio en el **acervo** de dinero afecta solo las variables nominales. **Def:** Un modelo es **Superneutral al dinero** si la **tasa de crecimiento** del dinero afecta solo las variables nominales. * La superneutralidad depende de la hipótesis de que la productividad marginal del capital no se ve afectada por el nivel ni por la tasa de crecimiento de los balances monetarios reales. ¿qué tan robusto es este resultado? Recordemos que en el modelo MIU: `$$\frac{1}{\beta} = f'(k^{ss}) + 1 - \delta$$` ¿Qué variables podrían afectar la productividad marginal del capital? ¿Qué no estamos modelando? --- ### MIU: Superneutralidad del dinero Si `\(U_t = u(c_t,m_t,l_t)\)` y `\(y_t = f(k_{t-1},1-l_t)\)`, los hogares ahora tienen una decisión más que tomar y esa decisión es óptima cuando: `$$u_l(c_t,m_t,l_t) = u_c(c_t,m_t,l_t)f_{1-l}(k_{t-1},1-l_t)$$` Ahora bien, si `\(\frac{u_l(c_t,m_t,l_t) }{ u_c(c_t,m_t,l_t)} = f_{1-l}(k_{t-1},1-l_t)\)` no depende de `\(m_t\)`, el dinero no tendrá ningún impacto en la productividad marginal del trabajo, y por lo tanto no tendrá impacto en el capital. ¿Por qué? * Si la función de utilidad es **separable**: `\(u(c_t,m_t,l_t) =g(c_t,l_t)\cdot v(m_t)\)` * Qué tal una función más general: `$$u(c_t,m_t,l_t) = \frac{(\alpha c_t^{1-\gamma} + (1-\alpha)m_t^{1-\gamma} )^{\frac{1-\Phi}{1-\gamma}}}{1-\Phi} + \Psi \frac{l_t^{1-\eta}}{1-\eta}$$` --- ### MIU: Superneutralidad del dinero En conclusión, la superneutralidad del dinero depende crucialmente de `\(u_{cm}\)` y de `\(c_{lm}\)`. * ¿Qué esperarían? * ¿Qué significa que `\(u_{cm}\geq 0\)`? --- class: inverse, center, middle # Gracias