class: center, middle, inverse, title-slide # Solución del Modelo MIU ### David Camposeco ### ITAM ### Last updated: 2020-09-14 --- ### Introducción * Solo vamos a introducir una decisión de trabajo en el modelo MIU. --- ### Consumidores Por lo tanto los agentes resuelven el problema: `$$\max_{\{c,k,\color{green}l,b,m\}_t} \sum_{t=1}^\infty \beta^{t-1} u (c_t, \color{green}{l_t}, m_t) \\ s.a. \qquad c_t + k_t + m_t + b_t = f(k_{t-1},\color{green}{l_t}) + \tau_t + (1-\delta)k_{t-1}+ \frac{m_{t-1}}{1+\pi_t} + (1+i_{t-1})\frac{b_{t-1}}{1+\pi_t} \qquad \forall t$$` --- ### Consumidores El Lagrangeano asociado al problema de los consumidores es: `$$\begin{align*} \mathcal{L}(\{c_i,k_i,\color{green}{l_t},b_i,m_i,\lambda_i\}) &= \\ &\sum_{t=1}^\infty \beta^{t-1} u (c_t, \color{green}{l_t},m_t) \\ &- \sum_{t=1}^\infty \lambda_t \left[c_t + k_t + m_t + b_t-f(k_{t-1},\color{green}{l_t})-\tau_t-(1-\delta)k_{t-1}- \frac{m_{t-1}}{1+\pi_t} - (1+i_{t-1})\frac{b_{t-1}}{1+\pi_t} \right] \end{align*}$$` Las condiciones de primer orden son: `$$\begin{align*} &\mathbf{c_t:\qquad}& \beta^{t-1}u_c(c_t,\color{green}{l_t},m_t)-\lambda_t =0 \qquad &\mathbf{m_t:\qquad} \beta^{t-1}u_m(c_t,\color{green}{l_t},m_t)-\lambda_t+\frac{\lambda_{t+1}}{1+\pi_{t+1}}= 0\\ &\mathbf{k_t:}& -\lambda_t + \lambda_{t+1}[f_k(k_t,\color{green}{l_{t+1}})+(1-\delta)]= 0 \qquad &\mathbf{b_t:} -\lambda_t + \lambda_{t+1} \frac{1+i_{t-1}}{1+\pi_t} =0 \\ &\mathbf{ \color{green}{l_t:}\qquad}& \beta^{t-1}u_l(c_t,\color{green}{l_t},m_t)+\lambda_tf_l(k_{t-1},\color{green}{l_{t}})=0\qquad & \end{align*}$$` --- ### Condiciones de eficiencia: Euler * Combinando la CPO del consumo en `\(t\)` y en `\(t+1\)` con la del capital ( `\(\lambda_t / \lambda_{t+1}=[f'(k_t)+(1-\delta)]\)` ) tenemos la **Condicion de Euler**: `$$\begin{align*} \beta^{t-1} u_c(c_t,\color{green}{l_t},m_t) &= \lambda_t \\ \beta^{t} u_c(c_{t+1},\color{green}{l_{t+1}},m_{t+1}) &= \lambda_{t+1} \\ \Rightarrow u_c(c_t,\color{green}{l_t},m_t) &= \beta u_c(c_{t+1},\color{green}{l_{t+1}},m_{t+1})[f_k(k_t,\color{green}{l_{t+1}})+1-\delta] \\ \Rightarrow \ u_c(c_t,\color{green}{l_t},m_t) &= \beta u_c(c_{t+1},\color{green}{l_{t+1}},m_{t+1})(1+r_t) \qquad \color{Purple}{\text{EQ. Euler}} \end{align*}$$` --- ### Condiciones de eficiencia: Tasa Marginal entre m y c * Combinando la CPO del `\(m_t\)` con la de `\(c_t\)` tenemos: `$$\begin{align*} \beta^{t-1}u_m(c_t,\color{green}{l_{t}},m_t)+\frac{\lambda_{t+1}}{1+\pi_{t+1}} &= \lambda_t \\ \beta^{t-1}u_m(c_t,\color{green}{l_{t}},m_t)+\frac{\beta^{t}u_c({c_{t+1},\color{green}{l_{t+1}},m_{t+1})}}{1+\pi_{t+1}} &= \beta^{t-1}u_c({c_{t},\color{green}{l_{t}},m_{t}}) \qquad \text{Dividiendo todo entre } \beta^{t-1}\\ u_m(c_t,\color{green}{l_{t}},m_t)+\frac{\beta u_c({c_{t+1},\color{green}{l_{t+1}},m_{t+1})}}{1+\pi_{t+1}} &= u_c({c_{t},\color{green}{l_{t}},m_{t}}) \qquad \text{Dividiendo todo entre } u_c \\ \frac{ u_m(c_t,\color{green}{l_{t}},m_t)}{ u_c({c_{t},\color{green}{l_{t}},m_{t}})} +\frac{\beta u_c({c_{t+1},\color{green}{l_{t+1}},m_{t+1})}}{(1+\pi_{t+1}) u_c({c_{t},\color{green}{l_{t}},m_{t}})} &= 1 \\ \text{Notando que: } \frac{\beta u_c({c_{t+1},\color{green}{l_{t+1}},m_{t+1})}}{(1+\pi_{t+1})u_c({c_{t},\color{green}{l_{t}},m_{t}})} = \frac{1}{(1+\pi_{t+1})(1+r_t)} &= \frac{1}{1+i_t} \\ \Rightarrow \frac{ u_m(c_t,\color{green}{l_{t}},m_t)}{ u_c({c_{t},\color{green}{l_{t}},m_{t}})} = 1-\frac{1}{1+i_t} \\ \Rightarrow \frac{ u_m(c_t,\color{green}{l_{t}},m_t)}{ u_c({c_{t},\color{green}{l_{t}},m_{t}})} = \frac{i_t}{1+i_t} \qquad \color{Purple}{\text{TMS}_{mc}}\end{align*}$$` --- ### Condiciones de eficiencia: Tasa Marginal entre l y c * Combinando la CPO del `\(l_t\)` con la de `\(c_t\)` tenemos: `$$\begin{align*} \beta^{t-1}u_l(c_t,\color{green}{l_t},m_t)+\lambda_tf_l(k_{t-1},\color{green}{l_{t}})&=0 \\ \beta^{t-1}u_l(c_t,\color{green}{l_t},m_t)&=-\lambda_tf_l(k_{t-1},\color{green}{l_{t}}) \\ \beta^{t-1}u_l(c_t,\color{green}{l_t},m_t)&=- \beta^{t-1}u_c(c_{t},\color{green}{l_{t}},m_{t}) f_l(k_{t-1},\color{green}{l_{t}}) \\ \Rightarrow -\frac{u_l(c_t,\color{green}{l_t},m_t)}{u_c(c_{t},\color{green}{l_{t}},m_{t})} &=f_l(k_{t-1},\color{green}{l_{t}}) \qquad \color{Purple}{\text{TMS}_{lc}}\end{align*}$$` --- ### Condiciones de eficiencia: Tasa de interés También hay una condición de no arbitraje. De las condiciones de primer orden de `\(b_t\)` y de `\(k_t\)` tenemos que: `$$\begin{align*} \frac{\lambda_{t+1}}{\lambda_t}&=[f_k(k_{t-1},\color{green}{l_{t}})+(1-\delta)]\\ \frac{\lambda_{t+1}}{\lambda_t}&= \frac{1+i_{t-1}}{1+\pi_t} \\ [f_k(k_{t},\color{green}{l_{t+1}})+(1-\delta)] &= \frac{1+i_{t}}{1+\pi_{t+1}} \qquad \color{Purple}{\text{R y PmgK}} \end{align*}$$` Recordemos la **Ecuación de Fisher:** `\(1+i = (1+r)(1+\pi)\)` comúnmente aproximada como `\(i \approx r + \pi\)` * ¿Qué tasa de interés pactamos en `\(t-1\)`? * ¿Qué inflación es relevante para determinar cuál es la tasa de interés real por invertir en `\(t-1\)` para recibir un beneficio en `\(t\)`? **Nota:** Si definimos `\([f'(k_t,\color{green}{l_{t+1}})+(1-\delta)] \equiv (1+r_{t-1})\)` entonces la condición de no arbitraje (adelantada un periodo) es: `$$(1+r_{t}) = \frac{1+i_{t}}{1+\pi_{t+1}} \qquad \color{Purple}{\text{EQ. Fisher}}$$` --- ### Banco Central Recordemos que las transferencias del gobierno estaban dadas por: `$$\begin{align*} \color{green}\tau_t &= \frac{M_t-M_{t-1}}{P_tN_t} \\ \text{Definiendo }1+\theta_t & \equiv \frac{M_t}{M_{t-1}} \Rightarrow \theta_t M_{t-1} = \left(\frac{M_t}{M_{t-1}}-1 \right)M_{t-1} = M_t-M_{t-1} \\ \Rightarrow \color{green}\tau_t &= \frac{\theta_t M_{t-1} }{P_tN_t} = \frac{\theta_t m_{t-1}}{1+\pi_t}\\ \text{Mulltiplicando cada lado por }\frac{P_{t-1}}{P_t}: \qquad 1+\theta_t \cdot\frac{P_{t-1}}{P_t} &= \frac{M_t}{M_{t-1}} \cdot\frac{P_{t-1}}{P_t} = \frac{m_t}{m_{t-1}} \\ \Rightarrow \frac{ 1+\theta_t}{1+\pi_t} =& \frac{m_t}{m_{t-1}} \qquad \color{Purple}{\Delta \text{m}} \end{align*}$$` --- ### Equilibrio "intratemporal" * En todo momento se deben cumplir las 2 restricciones presupuestales, la del gobierno que se reduce a `\(\color{green}\tau_t = \frac{\color{blue}{\theta}_t m_{t-1}}{1+\pi_t}\)` * Y la de los consumidores: `$$c_t + k_t + m_t = f(k_{t-1,},l_{t+1}) + \color{green}\tau_t + (1-\delta)k_{t-1} + \frac{\color{blue}1}{1+\pi_t}m_{t-1}$$` Combinando ambas: `$$\begin{align} c_t + k_t + m_t &= f(k_{t-1,l_t}) +\frac{\color{blue}{\theta}_t m_{t-1}}{1+\pi_t} + (1-\delta)k_{t-1} + \frac{\color{blue}1}{1+\pi_t}m_{t-1} \\ c_t + k_t + m_t &= f(k_{t-1},l_t) + (1-\delta)k_{t-1} + \frac{\color{blue}1 +\color{blue}{\theta}_t}{1+\pi_t}m_{t-1} \\ \text{Recordando } \color{Purple}{\Delta \text{m}:} \quad \frac{ 1+\theta_t}{1+\pi_t} &= \frac{m_t}{m_{t-1}} \Rightarrow m_t= \frac{1 +\theta_t}{1+\pi_t}m_{t-1}\\ c_t + k_t &= f(k_{t-1},l_t) + (1-\delta)k_{t-1} \\ \Rightarrow k_t &= (1-\delta)k_{t-1}+y_t-c_t \\ \text{Definiendo: } x_t &\equiv k_t-(1-\delta)k_{t-1} \text{ Como la } \color{Purple}{\text{inv. }} \text{neta de depreciación} \\ x_t&=y_t-c_t \qquad \color{Purple}{\text{Vaciado}}\end{align}$$` --- class: inverse, center, middle # Estado Estacionario --- ### k/l es constante: De Euler: `$$u_c(c_t,\color{green}{l_t},m_t) = \beta u_c(c_{t+1},\color{green}{l_{t+1}},m_{t+1})(1+r_t) \qquad \color{Purple}{\text{EQ. Euler}}$$` En SS, `\(u_c(c_t,\color{green}{l_t},m_t)=u_c(c_{t+1},\color{green}{l_{t+1}},m_{t+1})\)` `$$\begin{align*} \Rightarrow \frac{1}{\beta} &= 1+r_{ss}\\ \Rightarrow \frac{1}{\beta} &= f_k(k_{ss},l_{ss})+(1-\delta) \end{align*}$$` Como f es homogenea de grado 1, `\(f_k\)` solo es función del cociente `\(k/n\)`. Además: `$$\frac{f(k_{ss},l_{ss})}{l_{ss}}= f\left(\frac{k_{ss}}{l_{ss}},1\right)\equiv\phi\left(\frac{k_{ss}}{l_{ss}}\right)$$` --- ### c es función de l De la condicion de vaciado: `$$c_{ss}=f(k_{ss},l_{ss})-\delta k_{ss}$$` Multiplicando por `\(l_{ss}/l_{ss}\)` el lado derecho: `$$c_{ss}=\left[ \phi\left(\frac{k_{ss}}{l_{ss}}\right) -\delta \frac{k_{ss}}{l_{ss}} \right]l_{ss}$$` Nota que en estado estacionario, `\(\phi\left(\frac{k_{ss}}{l_{ss}}\right)\)` es una constante al igual que `\(\delta \frac{k_{ss}}{l_{ss}}\)`. Definiendo `\(\bar{\phi}\equiv \left[ \phi\left(\frac{k_{ss}}{l_{ss}}\right) -\delta \frac{k_{ss}}{l_{ss}}\right]\)` tenemos que: `$$c_{ss} = \bar{\phi}l_{ss}$$` **c es proporcional a l** --- ### El nivel de l puede depender de m Hemos llegado a la conclusión de que `\(k_{ss}/l_{ss}\)` es constante y que `\(c_{ss}\)` es proporcional a `\(l_{ss}\)` por lo tanto, el nivel de `\(l_{ss}\)` determina el nivel de `\(k_{ss}\)` y de `\(c_{ss}\)`. Para determinar el nivel de `\(l_{ss}\)`, recurrimos a `$$\frac{u_l(c_t,\color{green}{l_t},m_t)}{u_c(c_{t},\color{green}{l_{t}},m_{t})}=f_l(k_{t-1},\color{green}{l_{t}}) \qquad \color{Purple}{\text{TMS}_{lc}}$$` Haciendo uso de que en estado estacionario, `\(c_{ss} = \bar{\phi}l_{ss}\)` y reconociendo que `\(f_l\)` solo depende del cociente `\(k_{ss}/l_{ss}\)`, podemos escribir la `\(\color{Purple}{\text{TMS}_{lc}}\)` como: `$$\frac{u_l(\bar{\phi}l_{ss},\color{green}{l_{ss}},m_{ss})}{u_c(\bar{\phi}l_{ss},\color{green}{l_{ss}},m_{ss})}=f_l\left(\frac{k_{ss}}{l_{ss}}\right)$$` Explicitamnte, recordemos que `\(\frac{1}{\beta} -(1-\delta) = f_k(k_{ss}/l_{ss})\)`. Sea `\(f^{-1}_k\)` la inversa de `\(f_k\)`. ¹ `$$\begin{align*}\frac{k_{ss}}{l_{ss}}&= f^{-1}_k\left(\frac{1}{\beta} -(1-\delta)\right)\\ \Rightarrow \frac{u_l(\bar{\phi}l_{ss},\color{green}{l_{ss}},m_{ss})}{u_c(\bar{\phi}l_{ss},\color{green}{l_{ss}},m_{ss})}&=f_l\left[f^{-1}_k\left(\frac{1}{\beta} -(1-\delta)\right)\right] \end{align*}$$` ¹ La inversa existe por que `\(f_k\)` es monotonicamente decreciente --- ### El nivel de l puede depender de m Tenemos dos opciones, la primera opción es que `\(u_l\)` y `\(u_c\)` no dependan de `\(m_{ss}\)` o que dependan de `\(m\)` pero se cancelen en el cociente. Por ejemplo, si `\(u_l(c_{t},l_{t},m_{t})= h(c_{t},l_{t})\cdot v(m_{t})\)` y si `\(u_c(c_{t},l_{t},m_{t})= j(c_{t},l_{t})\cdot v(m_{t})\)`,entonces el cociente `$$\frac{u_l(c_t,\color{green}{l_{t}},m_{t})}{u_c(c_t,\color{green}{l_{t}},m_{t})} = \frac{h(c_{t},l_{t})\cdot v(m_{t})}{ j(c_{t},l_{t})\cdot v(m_{t})}= \frac{h(c_{t},l_{t})}{ j(c_{t},l_{t})}$$` Haciendo uso de que `\(c_{ss}=\bar{\phi}l_{ss}\)` entonces: `$$\frac{u_l(\bar{\phi}l_{ss},\color{green}{l_{ss}},m_{ss})}{u_c(\bar{\phi}l_{ss},\color{green}{l_{ss}},m_{ss})} = \frac{h(\bar{\phi}l_{ss},l_{ss})\cdot v(m_{t})}{ j(\bar{\phi}l_{ss},l_{ss})\cdot v(m_{t})}= \frac{h(\bar{\phi}l_{ss},l_{t})}{ j(\bar{\phi}l_{ss},l_{t})}\equiv g(l_{ss})$$` **Caso 1** Supongamos que el cociente `\(u_l/u_c\)` no depende de `\(m_{ss}\)`. Entonces podemos escribir: `\(g(l_{ss}) \equiv \frac{u_l(\bar{\phi}l_{ss},\color{green}{l_{ss}},m_{ss})}{u_c(\bar{\phi}l_{ss},\color{green}{l_{ss}},m_{ss})}\)` `$$g(l_{ss})=f_l\left[f^{-1}_k\left(\frac{1}{\beta} -(1-\delta)\right)\right]$$` En este caso, `\(l_{ss}\)` queda completamente determinado por la ecuación de arriba, y como `\(k_{ss}/l_{ss}\)` es constante y `\(\bar{\phi}l_{ss}=c{ss}\)` entonces ni el capital ni el consumo dependen de `\(m\)` y es estados estacionario es neutral. --- ### El nivel de l puede depender de m **Caso 2** La segunda opción es que el cociente `\(u_l/u_c\)` dependa de `\(m\)`. En este caso tenemos dos ecuaciones. La `\(\color{Purple}{\text{TMS}_{lc}}\)` y `\(\color{Purple}{\text{TMS}_{mc}}\)` `$$\begin{align*} \frac{u_l(\bar{\phi}l_{ss},\color{green}{l_{ss}},m_{ss})}{u_c(\bar{\phi}l_{ss},\color{green}{l_{ss}},m_{ss})} \equiv \hat{g}(l_{ss},m_{ss})=f_l\left[f^{-1}_k\left(\frac{1}{\beta} -(1-\delta)\right)\right] &\qquad \color{Purple}{\text{TMS}_{lc}} \\ \left.\frac{ u_m(c_t,\color{green}{l_{t}},m_t)}{ u_c({c_{t},\color{green}{l_{t}},m_{t}})} \right|_{ss}= \frac{ u_m(\bar{\phi}l_{ss},l_{ss},m_{ss})}{u_c(\bar{\phi}l_{ss},l_{ss},m_{ss})} \equiv \hat{h}(l_{ss},m_{ss})= \frac{i_{ss}}{1+i_{ss}} &\qquad \color{Purple}{\text{TMS}_{mc}} \end{align*}$$` Notando que `\((1+i_{ss})=(1+r_{ss})(1+\pi_{ss})\)` y que `\(\frac{1}{\beta}\equiv(1+\rho)=(1+r_{ss})\)` así como que `\(\pi_{ss}= \theta_{ss}\)` podemos expresar la `\(\color{Purple}{\text{TMS}_{mc}}\)` como `$$\hat{h}(l_{ss},m_{ss}) = \frac{(1+\rho)(1+\theta_{ss})-1}{(1+\rho)(1+\theta_{ss})} \qquad EQ2$$` Así, `\(\color{Purple}{\text{TMS}_{lc}}\)` y `\(EQ2\)` forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas `\((m_{ss}\)` y `\(l_{ss}),\)` si tomamos a `\(\theta_{ss}\)` como un parámetro exógeno (cosa que hacemos). **Nota** La existencia del equilibrio depende de la forma funcional de `\(\hat{g}\)` y `\(\hat{h}\)`. Si no hay intersección entre las dos ecuaciones, no hay solución. Si hay mas de una intersección hay múltiples equilibrios. --- ### El nivel de m El nivel de `\(m_{ss}\)` queda determinado por `$$\frac{ u_m(\bar{\phi}l_{ss},l_{ss},m_{ss})}{u_c(\bar{\phi}l_{ss},l_{ss},m_{ss})} \equiv \hat{h}(l_{ss},m_{ss})= \frac{i_{ss}}{1+i_{ss}} = \frac{(1+\rho)(1+\theta_{ss})-1}{(1+\rho)(1+\theta_{ss})} \qquad \color{Purple}{\text{TMS}_{mc}}$$` En el **Caso 1** esta ecuación se resuelve fácilmente porque `\(l_{ss}\)` ya está determinada mientras que en el **Caso 2** se determina simultaneamente como vimos en la lámina anterior. --- class: inverse, center, middle # Definición de Formas Funcionales --- ### Definición de Formas Funcionales: Utilidad Para simular este modelo debemos suponer formas funcionales para la función de utilidad y para la función de producción. De las láminas anteriores queda claro que la forma funcional más relevante es la de la función de utilidad instantánea por que esta determina si el modelo va a exhibir neutralidad o no. Vamos a usar la siguiente función de utilidad: `$$u(c_t,l_t,m_t) = \frac{\left[ ac_t^{1-b} +(1-a)m_t^{1-b}\right]^{\frac{1-\Phi}{1-b}}}{1-\Phi}+\Psi\frac{(1-l_t)^{1-\eta}}{1-\eta}$$` Por lo que: `$$\begin{align*} \mathbf{u_c(c_t,l_t,m_t)}&= \frac{1-\Phi}{1-b}\frac{\left[ ac_t^{1-b} +(1-a)m_t^{1-b}\right]^{\frac{1-\Phi}{1-b}-1}}{1-\Phi}(1-b)(a)c_t^{-b} = \left[ ac_t^{1-b} +(1-a)m_t^{1-b}\right]^{\frac{b-\Phi}{1-b}}(a)c_t^{-b} \\ \mathbf{u_m(c_t,l_t,m_t)}&= \frac{1-\Phi}{1-b}\frac{\left[ ac_t^{1-b} +(1-a)m_t^{1-b}\right]^{\frac{1-\Phi}{1-b}-1}}{1-\Phi}(1-b)(1-a)m_t^{-b} = \left[ ac_t^{1-b} +(1-a)m_t^{1-b}\right]^{\frac{b-\Phi}{1-b}}(1-a)m_t^{-b} \\ \mathbf{u_l(c_t,l_t,m_t)}&=\Psi(1-\eta)\frac{(1-l_t)^{-\eta}}{1-\eta}=\Psi(1-l_t)^{-\eta} \end{align*}$$` --- ### Definición de Formas Funcionales: Producción La fomra de la función de utilidad será una Cobb Douglass estándar. Por razones que veremos más adelante, es conveniente definir `\(A_t\equiv e^{z_t}\)` Entonces: `$$f(k_{t-1},l_t) = e^{z_t}k_{t-1}^{\alpha}l_{t}^{1-\alpha}$$` Por lo que: `$$\begin{align*} \mathbf{f_k(k_{t-1},l_t|z_t)}&= \alpha e^{z_t}\left(\frac{l_t}{k_{t-1}}\right)^{1-\alpha}=\alpha \frac{y_t}{k_{t-1}}\\ \mathbf{f_l(k_{t-1},l_t|z_t)}&= (1-\alpha) e^{z_t}\left(\frac{k_{t-1}}{l_{t}}\right)^{\alpha}=(1-\alpha)\frac{y_t}{l_{t}} \end{align*}$$` --- ### Definición de Formas Funcionales: **Tasas marginales y no arbitraje** De las derivadas de la lámina anterior tenemos que: `$$\begin{align*} \color{Purple}{\text{EQ. Euler:}}\;&\frac{\lambda_{t}}{\beta \lambda_{t+1}}=(1+r_t)&\color{Purple}1\\ \color{Purple}{\text{UmgC:}}\;&\left[ ac_t^{1-b} +(1-a)m_t^{1-b}\right]^{\frac{b-\Phi}{1-b}}ac_t^{-b} =\lambda_t&\color{Purple}2\\ \color{Purple}{\text{TMS}_{mc}:}\;& \left(\frac{a}{1-a}\right)\left(\frac{m_t}{c_t}\right)^b=\frac{i_t}{1+i_t}&\color{Purple}3\\ \color{Purple}{\text{TMS}_{lc}:}\;& \frac{\Psi(1-l_t)^{-\eta}}{\lambda_t}=(1-\alpha)\frac{y_t}{l_t}&\color{Purple}4\\ \color{Purple}{\text{R y PmgK:}}\;& 1+r_t= (1-\delta)+\alpha \frac{y_{t+1}}{k_{t}}&\color{Purple}5 \end{align*}$$` --- ### Definición de Formas Funcionales: **Definiciones y condiciones de vaciado** Además de las condiciones del consumidor, tenemos las siguientes condiciones de equilibrio `$$\begin{align*} \color{Purple}{\text{Fisher:}}\;& (1+i_t)=(1+r_t)(1+\pi_{t+1}) &\color{Purple}6\\ \color{Purple}{\text{Prod.:}}\;& y_t \equiv e^{z_t}k_{t-1}^\alpha l_t^{1-\alpha}&\color{Purple}7\\ \color{Purple}{\text{Inv.:}}\;& x_t \equiv k_t-(1-\delta)k_{t-1}&\color{Purple}8\\ \color{Purple}{\text{Vaciado:}}\;& x_t=y_t-c_t&\color{Purple}9\\ \color{Purple}{\Delta\text{m}:}\;& m_t=\frac{(1+\theta_t)}{1+\pi_t}m_{t-1}&\color{Purple}{10} \end{align*}$$` --- ### Equaciones de equilibrio Al final, tenemos un sistema con 10 ecuaciones, numeradas en las láminas anteriores y 10 incógnitas: `$$\begin{align*} \color{Purple}{1)}&\; y_t &\color{Purple}{6)}&\; \lambda_t\\ \color{Purple}{2)}&\; k_t &\color{Purple}{7)}&\; r_t\\ \color{Purple}{3)}&\; l_t &\color{Purple}{8)}&\; i_t\\ \color{Purple}{4)}&\; x_t &\color{Purple}{9)}&\; \pi_t\\ \color{Purple}{5)}&\; c_t &\color{Purple}{10)}&\; m_t\\ \end{align*}$$` --- class: inverse, center, middle # Simulación --- ### Simulación Para simular el modelo necesitamos varias cosas: 1. Linearizar el modelo al rededor de un punto 2. Escoger parámetros para el modelo (letras griegas) 3. Asegurarnos de que el modelo es estable para los parámetros escogidos (Condiciones BK) El método de linearización que usaremos es el de desviaciones logarítmicas al rededor del estado estacionario **(log-linearización)**. Este método hace uso de reescribir cualquer variable `\(x_t\)` de la siguiente forma: `$$x_t = x_{ss}(1+\hat{x}_t)$$` En este caso, `\(\hat{x}_t\)` representa la desviación del estado estacionario de `\(x_t\)` en términos porcentuales. **Nota:** Si `\(\hat{x}_t\)` es pequeño, efectivamente estamos aproximando a `\(x_t\)` al rededor del estado estacionario. De la definición anterior: `$$\ln\left(\frac{x_t}{x_{ss}}\right)=\ln(1+\hat{x})\approx \hat{x}$$` --- ### Log-Linearización La última aproximación hace uso dela expansión de Taylor: `$$f(x) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$` Para `\(\hat{x}\)` lo suficientemente cerca de 0 tenemos: `$$\ln(1+\hat{x}) \approx \ln(0) + \frac{1}{1+0}(\hat{x}-0)^1 = \hat{x}$$` A continuación log-linearizamos las 10 ecuaciones que confroman el equilibrio. **NOTA** Las variables que ya son tasas, como `\(r_t\)`, `\(i_t\)` etc., se linearizan de la siguente forma: `$$\hat{r} = r_t-r_{ss}$$` Esto permite una mejor intuición: Si `\(\hat{\pi}=1\%\)` y `\(\pi_{ss}=3\%\)` entonces `\(\pi_{t}=4\%\)` --- ### Log-linearización `\(\color{Purple}{\text{1) EQ. Euler:}}\;\frac{\lambda_{t}}{\beta \lambda_{t+1}}=(1+r_t)\)` Haciendo uso de la definición con *gorritos* `$$\begin{align*} \lambda_{t}&= \beta \lambda_{t+1}(1+r_t) \\ \lambda_{ss}(1+\hat{\lambda}_t)&=\beta\lambda_{ss}(1+\hat{\lambda}_{t+1})(1+r_t) \quad &\text{Eliminando } \lambda_{ss} \\ (1+\hat{\lambda}_t)&=\beta(1+\hat{\lambda}_{t+1})(1+r_t) \quad &\text{Nota: } (1+r)(1+\lambda) = 1+r+\lambda+r\lambda \approx 1+r+\lambda\\ (1+\hat{\lambda}_t)&\approx\beta(1+\hat{\lambda}_{t+1}+r_t) \quad &\text{Nota: }\beta=1/(1+r_{ss})\\ (1+\hat{\lambda}_t)&\approx(1+\hat{\lambda}_{t+1}+r_t)(1+r_{ss})^{-1} \quad &\text{Igual que antes los terminos cruzados son pequeños}\\ (1+\hat{\lambda}_t)&\approx(1+\hat{\lambda}_{t+1}+r_t-r_{ss} )\\ \hat{\lambda}_t&\approx \hat{r_t} + \hat{\lambda}_{t+1} \end{align*}$$` --- ### Log-linearización `\(\color{Purple}{\text{2) UmgC:}}\;\left[ ac_t^{1-b} +(1-a)m_t^{1-b}\right]^{\frac{b-\Phi}{1-b}}(1-a)c_t^{-b} =\lambda_t\)` `$$\begin{align*} \left[ ac_t^{1-b} +(1-a)m_t^{1-b}\right]^{\frac{b-\Phi}{1-b}}(1-a)c_t^{-b} & =\lambda_t \quad & \text{Definiendo: } H_t \equiv ac_t^{1-b} +(1-a)m_t^{1-b}\\ [H_t]^{\frac{b-\Phi}{1-b}}(1-a)c_t^{-b} & =\lambda_t \quad & \text{Haciendo uso de la defn. de gorritos}\\ [\color{Green}{H_{ss}}(1+\hat{h}_{t})]^\color{Green}{\frac{b-\Phi}{1-b}}\color{Green}{(1-a)}[\color{Green}{c_{ss}}(1+\hat{c}_t)]^{-b} & =\color{Green}{\lambda_{ss}}(1+\hat{\lambda}_t) \quad & \text{La eq. se cumple en ss}\\ \color{Green}{[H_{ss}]^{\frac{b-\Phi}{1-b}}(1-a)[c_{ss}]^{-b}} & =\color{Green}{\lambda_{ss}} \\ (1+\hat{h}_{t})^{\frac{b-\Phi}{1-b}}(1+\hat{c}_t)^{-b} & =(1+\hat{\lambda}_t) \quad & \text{Usando las reglas de log-lin.}\\ {\frac{b-\Phi}{1-b}}\hat{h}_{t}-b \hat{c}_t \approx \hat{\lambda}_t \end{align*}$$` **NOTA** Si `\(b=\Phi\)` entonces `\(\hat{h}_t\)` no impacta `\(\hat{\lambda}_t\)` --- ### Log-linearización **Cont.** Definimos `\(H_t \equiv ac_t^{1-b} +(1-a)m_t^{1-b}\)` entonces `$$\begin{align*} H_{ss}(1+ \hat{h}_t) &= a (c^{ss})^{1-b}(1+\hat{c}_t)^{1-b} + (1- a) (m_{ss})^{1-b}(1+\hat{m}_t)^{1-b} \; & \text{Dividiendo todo entre } H_{ss}\\ (1+ \hat{h}_t) &= a \frac{(c_{ss})^{1-b}}{ H_{ss}}(1+\hat{c}_t)^{1-b} + (1- a) \frac{(m_{ss})^{1-b}}{ H_{ss}}(1+\hat{m}_t)^{1-b}\; & \text{Usando las reglas de LogLin.}\\ (1+ \hat{h}_t) &= a \frac{(c_{ss})^{1-b}}{ H_{ss}}[1+(1-b)\hat{c}_t]+ (1- a) \frac{(m_{ss})^{1-b}}{ H_{ss}}[1+(1-b)\hat{m}_t] \; & \text{Nota:}\\ 1&= a \frac{(c_{ss})^{1-b}}{ H_{ss}}[1]+ (1- a) \frac{(m_{ss})^{1-b}}{ H_{ss}}[1] \; & \text{Entonces:}\\ \hat{h}_t &= a \frac{(c_{ss})^{1-b}}{ H_{ss}}(1-b)\hat{c}_t+ (1- a) \frac{(m_{ss})^{1-b}}{ H_{ss}}(1-b)\hat{m}_t \; & \text{Definiendo:}\\ \gamma &= a \frac{(c_{ss})^{1-b}}{ H_{ss}} \Rightarrow 1-\gamma = (1- a) \frac{(m_{ss})^{1-b}}{ H_{ss}} \; & \text{Por lo que:}\\ \hat{h}_t &= (1-b) \gamma\hat{c}_t +(1-b)(1-\gamma)\hat{m}_t \end{align*}$$` --- ### Log-linearización `\(\color{Purple}{\text{2) UmgC:}}\;\left[ ac_t^{1-b} +(1-a)m_t^{1-b}\right]^{\frac{b-\Phi}{1-b}}(1-a)c_t^{-b} =\lambda_t\)` Recordemos que: `$$\begin{align*} \hat{h}_t &= (1-b) \gamma +(1-b)(1-\gamma)\hat{m}_t \qquad & \text{y que: }\\ \hat{\lambda}_t &= \frac{b-\Phi}{1-b}\hat{h}_{t}-b \hat{c}_t \qquad & \text{Entonces: }\\ \hat{\lambda}_t &= (b-\Phi)[\gamma\hat{c}_{t}+(1-\gamma)\hat{m}_t] -b\hat{c}_t \\ \Rightarrow \hat{\lambda}_t &= \Omega_1\hat{c}_{t}+\Omega_2\hat{m}_t \end{align*}$$` Donde definimos: `$$\Omega_1\equiv b(\gamma-1)-\gamma\Phi \qquad\text{y}\qquad \Omega_2\equiv (b-\Phi)(1-\gamma)$$` **Nota** Si `\(\Phi=b\Rightarrow \Omega_1=-b\)` y `\(\Omega_2=0\)` --- ### Log-linearización `\(\color{Purple}{\text{3) TMS}_{mc}:}\;\left(\frac{(1-a)m_t}{ac_t}\right)^b=\frac{i_t}{1+i_t}\)` `$$\begin{align*} \left(\frac{a}{1-a}\right) \left(\frac{m_{ss}(1+\hat{m}_t)}{c_{ss}(1+\hat{c}_t)}\right)^b&=\frac{i_t}{1+i_t} \qquad &\text{Notando que en ss.}\\ \left(\frac{a}{1-a}\right)\left(\frac{m_{ss}}{c_{ss}}\right)^b&=\frac{i_{ss}}{1+i_{ss}} \qquad &\text{Sustituimos}\\ \frac{i_{ss}}{1+i_{ss}}\left(\frac{1+\hat{m}_t}{1+\hat{c}_t}\right)^b&=\frac{i_t}{1+i_t} \\ \left(\frac{1+\hat{m}_t}{1+\hat{c}_t}\right)^b&=\frac{i_t}{1+i_t} \frac{1+i_{ss}}{i_{ss}} \qquad &\text{Reglas de LogLin.}\\ 1+b\hat{m}_t-b\hat{c}_t&=\frac{i_t(1+i_{ss})}{(1+i_t)i_{ss}} \qquad &\text{Como }i_ti_{ss}\approx 0 \\ b\hat{m}_t-b\hat{c}_t&=\frac{i_t}{i_{ss}}-1 =\frac{i_t-i_{ss}}{i_{ss}} \\ b\hat{m}_t-b\hat{c}_t&=\left(\frac{1}{i_{ss}}\right)\hat{i}_t &\Rightarrow \hat{m}_t = \hat{c}_t +\left(\frac{1}{bi_{ss}}\right)\hat{i}_t \\ \end{align*}$$` --- ### Log-linearización `\(\color{Purple}{\text{4) TMS}_{lc}:}\;\frac{\Psi(1-l_t)^{-\eta}}{\lambda_t}=(1-\alpha)\frac{y_t}{l_t}\)` Haciendo un cambio de variable `\(n_t\equiv1-l_t\)` `$$\begin{align*} \frac{\Psi(n_t)^{-\eta}}{\lambda_t}&=(1-\alpha)\frac{y_t}{l_t} \qquad &\text{Defn. de gorritos}\\ \frac{\Psi[n_{ss}(1+\hat{n}_t)]^{-\eta}}{\lambda_{ss}(1+\hat{\lambda}_t)}&=(1-\alpha)\frac{y_{ss}(1+\hat{y}_{t})}{l_{ss}(1+\hat{l}_{t})} \qquad &\text{En SS se cumple:}\\ \frac{\Psi[n_{ss}]^{-\eta}}{\lambda_{ss}}&=(1-\alpha)\frac{y_{ss}}{l_{ss}} \qquad &\text{Entonces:}\\ \frac{(1+\hat{n}_t)^{-\eta}}{1+\hat{\lambda}_t}&=\frac{1+\hat{y}_{t}}{1+\hat{l}_{t}} \qquad &\text{Reglas de LogLin.:}\\ 1-\eta\hat{n}_t-\hat{\lambda}_t &= 1+\hat{y}_{t}-\hat{l}_{t} \end{align*}$$` --- ### Log-linearización `\(\color{Purple}{\text{4) TMS}_{lc}:}\;\frac{\Psi(1-l_t)^{-\eta}}{\lambda_t}=(1-\alpha)\frac{y_t}{l_t}\)` Nos falta sustituir `\(\hat{n}_t\)`: `$$\begin{align*} n_t=1-l_t\Rightarrow n_{ss}&(1+\hat{n}_t)=1-l_{ss}(1+\hat{l}_{t})\\ n_{ss}+n_{ss}\hat{n}_t&=1-l_{ss}-\hat{l}_{t}l_{ss}\\ n_{ss}\hat{n}_t&=-\hat{l}_{t}l_{ss}\\ \hat{n}_t&=-\frac{l_{ss}}{n_{ss}}\hat{l}_{t} \end{align*}$$` Entonces recordando que `$$\begin{align*} 1-\eta\hat{n}_t-\hat{\lambda}_t &= 1+\hat{y}_{t}-\hat{l}_{t} \\ 1+\eta\frac{l_{ss}}{n_{ss}}\hat{l}_{t}-\hat{\lambda}_t &= 1+\hat{y}_{t}-\hat{l}_{t} \\ \left[1+\eta\frac{l_{ss}}{n_{ss}}\right]\hat{l}_{t} &= \hat{y}_{t} +\hat{\lambda}_t \end{align*}$$` --- ### Log-linearización `\(\color{Purple}{\text{5) R y PmgK:}}\;1+r_t= (1-\delta)+\alpha \frac{y_{t+1}}{k_{t}}\)` Empezamos escribiendo las variables con gorros `$$\begin{align*} 1+r_t&= (1-\delta)+\alpha \frac{y_{ss}(1+\hat{y}_{t+1})}{k_{ss}(1+\hat{k}_{t})}\qquad &\text{Reglas de LogLin.:}\\ 1+r_t&= (1-\delta)+\alpha \frac{y_{ss}}{k_{ss}}(1+\hat{y}_{t+1}-\hat{k}_{t})\qquad &\text{Expandiendo:}\\ 1+r_t&= (1-\delta)+\alpha \frac{y_{ss}}{k_{ss}}+\alpha \frac{y_{ss}}{k_{ss}}(\hat{y}_{t+1}-\hat{k}_{t})\qquad &\text{En ss tenemos:}\\ \alpha \frac{y_{ss}}{k_{ss}}&=1+r_{ss}- (1-\delta) \qquad &\text{Sustityendo:}\\ 1+r_t&=1+r_{ss}+\alpha \frac{y_{ss}}{k_{ss}}(\hat{y}_{t+1}-\hat{k}_{t}) \\ r_t-r_{ss} &= \alpha \frac{y_{ss}}{k_{ss}}(\hat{y}_{t+1}-\hat{k}_{t})\\ \hat{r}_t &= \alpha \frac{y_{ss}}{k_{ss}}(\hat{y}_{t+1}-\hat{k}_{t})\\ \end{align*}$$` --- ### Log-linearización `\(\color{Purple}{\text{6) Fisher:}}\; (1+i_t)=(1+r_t)(1+\pi_{t+1})\)` Tomamos la ecuación de fisher en `\(t\)` y en `\(ss\)`: `$$\begin{align*} (1+i_t)&=(1+r_t)(1+\pi_{t+1})\\ (1+i_{ss})&=(1+r_{ss})(1+\pi_{ss}) \qquad &\text{Dividiendo una entre la otra:} \\ (1+i_t)(1+i_{ss})^{-1}&=(1+r_t)(1+r_{ss})^{-1}(1+\pi_{t+1})(1+\pi_{ss})^{-1} \qquad &\text{Reglas de LogLin.} \\ i_t-i_{ss}&=r_t-r_{ss}+\pi_t-\pi_{ss}\\ \hat{i}_t&=\hat{r}_t-\hat{\pi}_t \end{align*}$$` --- ### Log-linearización `\(\color{Purple}{\text{7) Prod.:}}\; y_t \equiv e^{z_t}k_{t-1}^\alpha l_t^{1-\alpha}\)` Comenzamos con la defn. de gorros `$$\begin{align*} y_{ss}(1+\hat{y}_t) &= e^{z_t}[k_{ss}(1+\hat{k}_{t-1})]^\alpha [l_{ss}(1+\hat{l}_t)]^{1-\alpha} \qquad &\text{En ss} \\ y_{ss} &= e^{z_{ss}}k_{ss}^\alpha l_{ss}^{1-\alpha} \qquad &\text{Definimos }z_{ss}=0 \Rightarrow e^{z_{ss}}=1 \\ (1+\hat{y}_t) &= e^{z_t}(1+\hat{k}_{t-1})^\alpha (1+\hat{l}_t)^{1-\alpha} \qquad &\text{Reglas LogLin.} \\ \hat{y}_t &= {z_t}+\alpha\hat{k}_{t-1}+(1-\alpha)\hat{l}_t \end{align*}$$` --- ### Log-linearización `\(\color{Purple}{\text{8) Inv.:}}\; x_t \equiv k_t-(1-\delta)k_{t-1}\)` `\(\color{Purple}{\text{9) Vaciado:}}\; x_t=y_t-c_t\)` `\(\cdot\cdot\cdot\)` `$$\begin{align*} \left(\frac{y_{ss}}{k_{ss}}\right)\hat{y}_t &= \left(\frac{c_{ss}}{k_{ss}}\right)\hat{c}_t+\delta\hat{x}_t\\ \hat{k}_t&=(1-\delta)\hat{k}_{t-1}+\delta\hat{x}_t \end{align*}$$` --- ### Log-linearización `\(\color{Purple}{\text{10)}\Delta\text{m}:}\; m_t=\frac{(1+\theta_t)}{1+\pi_t}m_{t-1}\)` Aplicando las reglas de Log linearización: `$$\hat{m}_t= \theta_t-\pi_t+\hat{m}_{t-1}$$` --- class: inverse, center, middle # Gracias