class: center, middle, inverse, title-slide # Cash in Advance ### David Camposeco ### ITAM ### Last updated: 2020-09-21 --- ### Introducción Si tomamos de manera literal el hecho de que el dinero sirve como medio de transacción, la forma más obvia de modelarlo seria con una restricción de efectivo. `$$c_t \leq \frac{m_{t-1}}{1+\pi_t} + \tau_t \tag{CIA}$$` Utilicemos esta restricción en un modelo `\(muy\)` básico con una función de utilidad `$$\sum_{t=0}^\infty \beta^t u(c_t)$$` Sujeto a `$$\begin{align*} c_t + k_t + m_t = f(k_{t-1})+\tau_t + (1-\delta)k_{t-1} + \frac{m_{t-1}}{1+\pi_t} \end{align*}$$` Si el costo de tener dinero `\(\left( \frac{i_t}{1+i_t}\right) > 0\)` entonces la restricción se cumplirá con igualdad (si no hay incertidumbre). Para que cargaríamos con más dinero del necesario? --- ### CIA: El modelo básico Resolviendo el modelo: `$$\begin{align*} \mathcal{L} &= \sum_t \beta^t u(c_t) \\ &- \sum_t \lambda_t \left[ c_t + k_t + m_t - f(k_{t-1})- \tau_t - (1-\delta)k_{t-1} - \frac{m_{t-1}}{1+\pi_t} \right] \\ & - \sum_t \mu_t \left[ c_t - \frac{m_{t-1}}{1+\pi_t} - \tau_t \right] \end{align*}$$` --- ### CIA: El modelo básico Gracias Condiciones de primer orden: `$$\begin{align*} \beta^t u_c(c_t) &= \lambda_t + \mu_t &\qquad \text{CPO.C} \\ -\lambda_t + \frac{\lambda_{t+1}}{1+\pi_{t+1}} + \frac{\mu_{t+1}}{1+\pi_{t+1}} &= 0 &\qquad \text{CPO.m} \\ -\lambda_{t} + \lambda_{t+1}[f_k(k_t) +1 - \delta] &= 0 &\qquad \text{CPO.k} \end{align*}$$` Y las condiciones de holgura de KKT. --- ### CIA: El modelo básico `$$\begin{align*} \lambda_t &= \frac{\lambda_{t+1}}{1+\pi_{t+1}} + \frac{\mu_{t+1}}{1+\pi_{t+1}} &\qquad \text{CPO.m}\\ \lambda_{t} &= \lambda_{t+1}[1+r_t] = 0 \ &\qquad \text{CPO.k} \\ \Rightarrow \lambda_{t+1}[1+r_t] &= \frac{\lambda_{t+1} + \mu_{t+1}}{1+\pi_{t+1}} &\qquad \text{Combinando} \\ \Rightarrow \lambda_{t+1}[1+i_t] &= \lambda_{t+1} + \mu_{t+1} &\qquad \text{Fisher} \\ \Rightarrow i_t &= \frac{\mu_{t+1}}{\lambda_{t+1}} \end{align*}$$` **¿Cuándo es positiva la tasa de interés?** --- ### CIA: El modelo básico Noten que podemos escribir CPO.c de la siguiente forma: `$$\begin{align*} \beta^t u_c(c_t) &= \lambda_t + \mu_t \\ \beta^t u_c(c_t) &= (1 +\frac{\mu_t }{ \lambda_t})\lambda_t \\ \beta^t u_c(c_t) &= \lambda_t(1+i_{t-1}) \end{align*}$$` El precio relativo del bien de consumo aumenta con respecto a `\(i_{t-1}\)`. Es decir que *si la tasa de interés es positiva* la utilidad marginal del consumo es *mayor* a la utilidad marginal de la riqueza! Por ello, una tasa de interés nominal positiva equivale a un *impuesto al consumo*. Pero no distorsiona la acumulación de capital. (Véase CPO.k en `\(ss\)`.). **¿Cuál es la tasa de interés óptima?** --- ### CIA: El modelo básico De lo anterior podemos inferir que pasaría si el modelo tuviera una decisión de ocio. * El ocio se puede "comprar" sin dinero por lo que la restricción CIA distorsiona la decisión ocio consumo al poner un *impuesto* al consumo. * Si la tasa de interés es positiva, los hogares escogen más ocio, $y_t $ será menor. * Si hay bienes que se compran a crédito, la restricción distorsiona la demanda relativa. * Si la restricción CIA aplicara para el capital, la acumulación de capital sería menor En todos los casos, la política óptima será remover el impuesto i.e.: `\(\mu = 0 \Rightarrow i=0\Rightarrow\)` Regla de Friedman! --- class: inverse, center, middle # Gracias